Хомогенни координати

Аритметичният (алгебричен) модел на n-мерното проекционно пространство ${\mathbf{P}}^n\left(R\right)$ има следните свойства:

1. Съществуват най-много (n +1) линейно независими точки в пространството.
2. Всички точки в пространството са линейни комбинации на някой (any) клас от (n +1) линейно независими точки. Пространството следователно също е линейно.
3. Множество от точки в пространството, които са линейно независими от (r3) линейно независими точки формират r-мерно линейно подпространство ${\mathbf{P}}^r\left(R\right)$ на пространството ${\mathbf{P}}^n\left(R\right)$.

Разширената Евклидова равнина ${{}_{\infty }\mathbf{E}}^2$ е модел на проекционна равнина, а разширеното Евклидово пространство ${{}_{\infty }\mathbf{E}}^3$е модел на проекционно пространство.

Хомогеннта координатна система в проекционното пространство ${{}_{\infty }\mathbf{E}}^2$ е разширение на Декартовата координатна система е Евклидовата равнина ${\mathbf{E}}^2\left(R\right)$.

Хомогенните координати на точката $A=(x_A,y_A)$ в Евклидовото подпространство ${\mathbf{E}}^2\left(R\right)$ на проекционното пространство ${{}_{\infty }\mathbf{E}}^2$ могат да бъдат определени като всяка тройка от реални числа $(a_1,a_2,a_0),a_0\ne 0$, за която е в сила

Всяка реална точка в проекционната равнина ${}_{\infty }{E}^2$има ненулева координата $a_0$.

Нормалната форма на хомогенните координати на реалната точка A е тройката от реални числа $A=(x_A,y_A,1)$.

Фигура 1: Хомогенни координати на идеалната точка (direction)

Представител на вектора (direction) $\mathbf{a}=\overrightarrow{BC}$ е ориентирания линеен сегмент, определен от реалните крайни точки B и C. Хомогенните координати на направлението (direction) a, представящо идеалната точка ${}_{\infty }U$, могат да бъдат получени от хомогенните координати на избраните крайни точки на представителния вектор.

$$\mathbf{a}=\left(x_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}0\right)=C-B=\left(x_C\mathrm{,}{y}_C\mathrm{,}1\right)-\left(x_B\mathrm{,}{y}_B\mathrm{,}1\right)=$$

$$=(x_C-x_B,y_C-y_B\mathrm{,}0)=(x_U,y_U\mathrm{,}0)={}_{\infty }U$$

Хомогенните координати на идеалнта точка в проекционнат равнина ${}_{\infty }{E}^2$образуват тройка от реални числа

където $x_a,y_a$ са декартовите координати на идеалната точка (direction) chosen representative vector.

Хомогенните координати на точката $A=(x_A,y_A\mathrm{,}{z}_A)$ в Евклидовото подпространство ${\mathbf{E}}^3\left(R\right)$ на проекционното пространство ${{}_{\infty }\mathbf{E}}^3$ могат да бъдат определени от всяка четворка от реални числа $(a_1,a_2,a_{\mathrm{3,}}{a}_0),a_0\ne 0$, за която е в сила

Всяка реална точка в проекционното пространство ${}_{\infty }{E}^3$има ненулева координата $a_0$.

Нормалната форма на хомогенните координати на реалната точка A е четворката от реални числа $A=(x_A,y_A,z_A\mathrm{,}1)$.

Фигура 2: Координати на вектор

Представител на вектора (направлението) (direction) $\mathbf{a}=\overrightarrow{BC}$ е ориентирания линеен сегмент, определен от реалните крайни точки B и C. Хомогенните координати на направлението a, представящо идеалната точка ${}_{\infty }U$, могат да бъдат получени от хомогенните координати на крайните точки на избрания представителен вектор.

Хомогенните координати на идеалната точка в проекционна равнина ${}_{\infty }{E}^3$образуват тройка от реални числа

където $x_a,y_a\mathrm{,}{z}_a$ са декартовите координати на идеалната точка (направление) на избрания представител.

Фигура 3: Хомогенни координати на идеалната точка