Сферична координатна система

Сферичната координатна система в пространството се определя от равнината $\pi$, в която е избрана насочената полуос ${\overrightarrow{p}}_1$ с начална точка S посока на въртене, обратна на часовниковата стрелка, и от насочената полуос ${\overrightarrow{p}}_2$ с начална точка S и перпендикулярна на $\pi$.

Във сферичната координатна система $\left(S\mathrm{,}\rho \mathrm{,}\varphi \mathrm{,}\zeta \right)$ всяка точка M в пространството, която на лежи на правата p, съвпадаща с полуоста ${\overrightarrow{p}}_2$, може да бъде съпоставена еднозначно тройка от реални числа $\rho \mathrm{,}\varphi$ и $\zeta$, с ясна геометрична интерпретация

Фигура 1: Сферична координатна система

1. $\rho =\left|SM\right|$, така че $\rho$ е разстоянието между точките M и S
2. $\varphi =|\sphericalangle \left({\overrightarrow{p}}_1\mathrm{,}\overrightarrow{S{M}_1}\right)|$, така че $\varphi$ е големината на ориентирания ъгъл с връх в точката S, първото рамо е образувано от полуоста $\overrightarrow{p_1}$, а второто от полуоста ${\overrightarrow{SM}}_1$, където $M_1$ е ортогоналната проекция на M в равнината $\pi$
3. $\zeta =|\sphericalangle \left({\overrightarrow{p}}_2\mathrm{,}\overrightarrow{SM}\right)|$, така че $\zeta$е големината на ъгъла, образуван от $\overrightarrow{p_2}$ и $\overrightarrow{SM}$.

Наредената тройка от реални числа $\left(\rho \mathrm{,}\varphi \mathrm{,}\zeta \right)$ образува сферичните координати на M, за които е в сила $\rho \in (\mathrm{0,}\infty )$, $\varphi \in [\mathrm{0,}2\pi )$, или $\varphi \in (-\pi \mathrm{,}\pi ]\mathrm{,}\zeta \in [\mathrm{0,}\pi )$.

Ако точката M лежи на правата p, то нейните сферични координати се изразяват чрез тройката

където $\varphi$ е произволно число, а $\zeta =0$ за точките M лежащи на полуоста $\overrightarrow{p_2}$ , като $\zeta =\pi$ в противния случай.

Фигура 2: Връзка между сферични и декартови координати

Сферичната координатна система $\left(S\mathrm{,}\rho \mathrm{,}\varphi \mathrm{,}\zeta \right)$ е свързане (conjugate) с Декартовата правоъгълна координатна система $\left(O\mathrm{,}x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$ в пространството, тогава и само тогава, когато

1. равнината $\pi$, определяща сферичната координатна система $\left(S\mathrm{,}\rho \mathrm{,}\varphi \mathrm{,}\zeta \right)$, се слива с равнината $xy$на Декартовата координатна система $\left(O\mathrm{,}x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$
2. точката S съвпада с върха O aи ориентираната полуос $\overrightarrow{p_1}$ съвпада с положителната част на оста x
3. ориентираната полуос $\overrightarrow{p_2}$ съвпада с положителната част на оста z.

Ако $\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$ са декартовите координати, а $\left(\rho \mathrm{,}\varphi \mathrm{,}\zeta \right)$ са сферичните координати на точката M, нележаща на координатната ос z, то тяхната връзка може да се представи чрез следните уравнения

и тъй като $\left|S{M}_1\right|=\rho \sin \zeta$ , е в сила

$$x=\rho \cos \varphi \sin \zeta$$

$$y=\rho \sin \varphi \sin \zeta$$

$$z=\rho \cos \zeta$$

откъдето сферичните координати могат да бъдат изразени чрез

Множеството от всички точки в пространството с константна първа сферична координата $\rho =a>0$ е сфера с център във върха на координатната система S и радиус a.