Цилиндрична координатна система

Нека са дадени равнината $\pi$ и перпендикулярната права p като полярната координатна система $\left(P\mathrm{,}\overrightarrow{o}\mathrm{,}\varphi \right)$ е дефинирана в равнината $\pi$ така, че полюсът P е в прободната точка на равнината $\pi$ и правата p. Равнината $\pi$ с полярната координатна система и координатната ос p с връх P образуват цилиндрична координатна система $\left(P\mathrm{,}\overrightarrow{o}\mathrm{,}\varphi \mathrm{,}p\right)$ в пространството.

На всяка точка M в пространството може да бъде съпоставена наредена тройка от реални числа - нейните цилиндрични координати

така, че

1. $\rho \mathrm{,}\varphi$ са полярните координати на проекцията $M_1$ на точката M в равнината $\pi$, представени в полярната координатна система $\left(P\mathrm{,}\overrightarrow{o}\mathrm{,}\varphi \right)$,
2. z е разстоянието от точка M до равнината $\pi$и $\rho \in (\mathrm{0,}\infty )\mathrm{,}\varphi \in [\mathrm{0,}2\pi )$, или $\varphi \in (-\pi \mathrm{,}\pi ]\mathrm{,}z\in (-\infty \mathrm{,}\infty )$.

Фигура 1: Цилиндрична координатна система

Полюсът P е проекцията в равнината $\pi$ на всяка точка M, лежаща на оста z, следователно цилиндричните координати на всички точки върху оста z се представят чрез тройката $\left(\mathrm{0,}\varphi \mathrm{,}z\right)$, където $\varphi$ е произволно число.

Нека са дедени Декартовата координатна система $\left(\mathrm{0,}x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$ И цилиндричната координатна система $\left(P\mathrm{,}\overrightarrow{o}\mathrm{,}\varphi \mathrm{,}z\right)$. Тези две координатни системи се наричат свързани (conjugate), тогава и само тогава, когато

1. равнината $\pi$, определяща цилиндричната координатна система $\left(P\mathrm{,}\overrightarrow{o}\mathrm{,}\varphi \mathrm{,}z\right)$ се слива с равнината xy от Декартовата правоъгълна координатна система $\left(O\mathrm{,}x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$
2. полярната координатна система $\left(P\mathrm{,}\overrightarrow{o}\mathrm{,}\varphi \right)$ и Декартовата правоъгълна координатна система $\left(O\mathrm{,}x\mathrm{,}y\right)$ в равнината $\pi$ са свързани (conjugate) координатни системи
3. оста p в цилиндричната $\left(P\mathrm{,}\overrightarrow{o}\mathrm{,}\varphi \mathrm{,}p\right)$ съвпада с координатната ос z в Декартовата правоъгълна координатна система $\left(O\mathrm{,}x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$.

Фигура 2: Връзка между декартови и цилиндрични координати

Ако $\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$ са декартовите координати, а $\left(\rho \mathrm{,}\varphi \mathrm{,}z\right)$ са цилиндричните координати на точка M, нележаща на оста z, то тяхната връзка може да бъде изразена чрез следните уравнения

$$x=\rho \cos \varphi$$

$$y=\rho \sin \varphi$$

$$z=z$$

и тъй като $x^2+y^2\ne 0$ и $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ също чрез уравнението

Всички точки в пространството, чиято първа координата е константа, $\rho =a\mathrm{,}a>0$, са разположени върху кръгова цилиндрична повърхнина (circular cylindrical surface) с управителна линия окръжност (with the basic circle) в равнината $\pi$. Център на окръжността е полюсът P, а радиусът е равен на a. Образуващите линии (Surface lines) са успоредни на координатната ос p, която е оста на цилиндричната повърхнина.