Полярна координатна система

Голям брой научни и технически приложения използват полярни координати в Евклидовото пространство за решаването на някои сложни геометрични проблеми.

Нека P е избрана фиксирана точка в равнината. Полуоста $\vec{o}$ с начална точка P и избрана посока на въртене, обратна на часовниковата стрелка, относно точка P в равнината, формират полярна координатна система $(P, \vec{o}, ϕ)$ . Точка P се нарича полюс - върхът на координатната система, а полуоста $\vec{o}$ е полярната ос на полярната координатна система.

Фигура 1: Полярни координати

Избирайки единица мярка за дължина, на всяка точка M в равнината може да се съпостави наредена двойка реални числа $M = (ρ, ϕ)$ с ясна геометрична интерпретация, показана на Фигура 1.

$ρ = | P M |$ е разстоянието от точка M до полюса P,
$ϕ = | ∢ (\vec{o}, \vec{P M}) |$ е големината на на ъгъла в посока, обратна на часовниковата стрелка, относно точка P, който е формиран от полярната ос $\vec{o}$ и полуоста $\vec{P M}$ .

Наредената двойка реални числа $(ρ, ϕ)$ образуват полярните координати на точката, числото $ρ$ се нарича модул, числото $ϕ = [0, 2 π)$ или $ϕ = (- π, π]$ се нарича полярен ъгъл.

Нека Декартовата координатна система (O, x, y) и полярната координатна система $(P, \vec{o}, ϕ)$ са зададени в Евклидовата равнина $E^{2} (R)$ .
Тези две координатни системи се наричат свързани (related), ако

$P = O$ , върховете на двете координатни системи съвпадат
Полярната ос $\vec{o}$ се слива с положителната посока на абсцисната ос x
Обратаната на часовниковата стрелка посока на въртене се определя от завъртанаето на положителната част на абсцисата x на ъгъл $ϕ = \frac{π}{2}$ към положителната част на оста y

и избирането на едната координатна система определя еднозначно другата.

Фигура 2: Свързани (related) координатни системи

Ако $(x_{M}, y_{M})$ са декартовите координати, а $(ρ, ϕ)$ са полярните координати на точката M, то тяхната зависимост се изразява чрез уравненията

x_{M} = ρ \cos ϕ

y_{M} = ρ \sin ϕ

и тъй като

x_{M}^{2} + y_{M}^{2} \neq 0

ρ = \sqrt{x_{M}^{2} + y_{M}^{2}}

също чрез уравненията

\cos ϕ = \frac{x_{M}}{\sqrt{x_{M}^{2} + y_{M}^{2}}}

\sin ϕ = \frac{y_{M}}{\sqrt{x_{M}^{2} + y_{M}^{2}}}

Ако $ρ = 0$ и следователно $x_{M} = y_{M} = 0$ , то полярният ъгъл не се определя чрез горните уравнения и полярните координати на точката са $P = (0, ϕ)$ , където $ϕ$ е произволно число.