Решение 5.

а) Направляващият вектор на правата $a=\overleftrightarrow{AB},A=\left(\mathrm{3,}6\right)\mathrm{,}B=(-\mathrm{2,}1)$ е векторът

$\mathbf{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(-5,-5).$

Каноничната форма на уравнението на правата a е $\frac{x-3}{-5}=\frac{y-6}{-5}$ .

Разстоянието от точката $C=\left(\mathrm{1,}1\right)$ до правата a може да се намери от формулата

$$d=\frac{|\mathbf{u}\times \mathbf{a}|}{\left|\mathbf{a}\right|},$$

където

$$\mathbf{u}=\overrightarrow{CA}=(3-1,6-1)=(2,5),\mathbf{a}=(-5,-5).$$

Тогава

$$\mathbf{u}\times \mathbf{a}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 2& 5& 0\\ -5& -5& 0\end{array}\right|=(0,0,15),$$

$$d=\frac{\sqrt{{15}^2}}{\sqrt{25+25}}=\sqrt{\frac{15.15}{2.25}}=\sqrt{\frac{9}{2}}=3\sqrt{2}.$$

Разстоянието между правите $a\parallel c$ е: $3\sqrt{2}$ .

б) Каноничният вид на уравнението на правата a е:

$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-0}{3}=\frac{z-0}{1},$$

а на правата b е:

$$\frac{x-0}{2}=\frac{y-0}{3}=\frac{z-5}{1}.$$

Разстоянието от точката $A=(1,0,0)$ до правата b може да се намери по формулата

$$d=\frac{|\mathbf{u}\times \mathbf{a}|}{\left|\mathbf{a}\right|},$$

където

$$\mathbf{u}=\overrightarrow{CA}=(1-0,0-0,0-5)=(1,0,-5),\mathbf{a}=(2,3,1).$$

Тогава

$$\mathbf{u}\times \mathbf{a}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 1& 0& -5\\ 2& 3& 1\end{array}\right|=(15,11,3),$$

$$d=\frac{\sqrt{225+121+9}}{\sqrt{4+9+1}}=\sqrt{\frac{355}{14}}.$$

Разстоянието от точката $C=(1,0,0)$ до правата a може да се изчисли по формулата

$$d=\frac{|{\mathbf{u}}_1\times \mathbf{a}|}{\left|\mathbf{a}\right|},$$

където

$${\mathbf{u}}_1=\overrightarrow{AC}=(0-1,0-0,5-0)=(-1,0,5),\mathbf{a}=(2,3,1).$$

Следователно,

$$\mathbf{u}\times \mathbf{a}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ -1& 0& 5\\ 2& 3& 1\end{array}\right|=(-15,-11,-3),$$

$$d=\frac{\sqrt{225+121+9}}{\sqrt{4+9+1}}=\sqrt{\frac{355}{14}}.$$

Разстоянието между правите $a\parallel c$ е $\sqrt{\frac{355}{14}}\mathrm{.}$

в) Точката $A=(3,2,3)$ от правата $a:X=(3,2,3)+t(2,1,0)$ се намира на разстояние d от правата $c:X=(0,3,5)+s(2,1,0),\mathrm{при}C=(0,3,5),\mathbf{a}=(2,1,0)$ и може да се изчисли по формулата:

$$d=\frac{|\mathbf{u}\times \mathbf{a}|}{\left|\mathbf{a}\right|},$$

където

$$\mathbf{u}=\overrightarrow{CA}=(0-3,3-2,5-3)=(-3,1,2),\mathbf{a}=(2,1,0).$$

Тогава

$$\mathbf{u}\times \mathbf{a}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ -3& 1& 2\\ 2& 1& 0\end{array}\right|=(-2,-4,-2),$$

$$d=\frac{\sqrt{4+16+4}}{\sqrt{4+1}}=\sqrt{\frac{24}{5}}.$$

Разстоянието между правите $a\parallel c$ е $\sqrt{\frac{24}{5}}\mathrm{.}$

г) Точката $A=(-1,1,2)$ от правата $a:X=(-1,1,2)+s(3,2,2)$ се намира на разстояние d от правата $c:x=1+3t,y=3+2t,z=2+2t,C=(1,3,2)$, което се намира по формулата:

$$d=\frac{|\mathbf{u}\times \mathbf{a}|}{\left|\mathbf{a}\right|},$$

където

$$\mathbf{u}=\overrightarrow{CA}=(-1-1,1-3,2-2)=(-2,-2,0),\mathbf{a}=(1,2,3).$$

Тогава

$$\mathbf{u}\times \mathbf{a}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ -2& -2& 0\\ 1& 2& 3\end{array}\right|=(-6,-6,-2),$$

$$d=\frac{\sqrt{36+36+4}}{\sqrt{1+4+9}}=\sqrt{\frac{76}{14}}=\sqrt{\frac{38}{7}}.$$

Разстоянието между правите $a\parallel c$ е: $\sqrt{\frac{38}{7}}\mathrm{.}$