Пример 4. Намерете взаимното положение на правата и равнината, зададени чрез:

а) точките A,B,P,Q,R нележщи на правата, а

p = A B , A = ( 2 , 2 , 1 ) , B = ( 2, 2 , 7 ) , α = P Q R , P = ( 7 , 0 , 0 ) , Q = ( 0 , 7 , 0 ) , R = ( 7 , 0 , 7 )

б) точките и направляващите вектори, а

p = a P , a = ( 0 , 0 , 7 ) , P = ( 2 , 2 , 1 ) , α = u v R , u = ( 1 , 0 , 3 ) , v = ( − 3 , 0 , − 2 ) , R = ( 0 , 6 , 0 )

в) точка-вектор уравнение на правата и параметричните уравнения на равнината

p : X = ( 2 , 1 , 0 ) + t ( − 2 , − 2 , 2 ) , α : x = 2 + 3 r − 2 s , y = r + s , z = 4 − r + 2 s

г) векторно уравнение на правата и общо уравнение на равнината

p:r(t)=(2t−3,4t+2,t),α:3x−4y+5z−3=0

Решение 4. а) Точково-векторното уравнение на правата a е

X = A + t ( B − A )
X = ( 2 , 2 , 1 ) + t ( 0 , 0 , 7 )

и точково-векторнотоуравнение на равнината е

X = P + r ( Q − P ) + s ( R − P )
X = ( 7 , 0 , 0 ) + r ( − 7 , 7 , 0 ) + s ( 0 , 0 , 7 )

Веднага се вижда, че направляващия вектор на правата p и направляващия вектор (R−P)на равнината αса равни, следователно правата и равнината са успоредни.

б) точково-векторното уравнение на правата е

X = P + t a
X = ( 2 , 6 , − 1 ) + t ( 0 , 0 , 7 )

и точково-векторното уравнение на равнината е

X = R + r u + s v
X = ( 0 , 6 , 0 ) + r ( 1 , 0 , 3 ) + s ( − 3 , 0 , − 2 )

Координатите на общата точка, ако съществува, удовлетворява системата уравнения

2 = r − 3 s
6 = 6
− 1 + 7 t = 3 r − 2 s

откъдето получаваме

r = 2 + 3 s

и

− 1 + 7 t = 3 ( 2 + 3 s ) − 2 s
7 t = 7 + 7 s
t = 1 + s

, което е изпълнено за всяко s∈R.

Това означава, че всички точки на правата лежат в равнината, т.е. правата лежи в равнината.

в) Системата от три линейни уравнения с три неизвестни t,r,s∈R

2 − 2 t = 2 + 3 r − 2 s
1 − 2 t = r + s
2 t = 4 − r + 2 s

трябва да се реши, за да се намерят координатите на общата точка на правата и равнината. Заместваме 2t от последното уравнение в другите две и получаваме

2 − 4 + r − 2 s = 2 + 3 r − 2 s
1 − 4 + r − 2 s = r + s

, от където

− 2 r = 4 ⇒ r = − 2
− 3 s = 3 ⇒ s = − 1

и следователно

t = 4 − r + 2 s 2 = 4 + 2 − 2 2 = 2

Координатите на пробода могат да се изчислят от уравнението на правата

X = ( 2 , 1 , 0 ) + t ( − 2 , − 2 , 2 )
X = ( 2 − 4 , 1 − 4 , 4 ) = ( − 2 , − 3 , 4 )

и от уравненията на равнината

x = 2 + 3 r − 2 s ⇒ x = 2 − 6 + 2 = − 2
y = r + s ⇒ y = − 2 − 1 = − 3
z = 4 − r + 2 s ⇒ z = 4 + 2 − 2 = 4

г) За да намерим координатите на общата точка на правата и равнината трябва да решим следната система от уравнения относно неизвестното t∈R

3 ( 2 t − 3 ) − 4 ( 4 t + 2 ) + 5 t − 3 = 0
6 t − 9 − 16 t − 8 + 5 t − 3 = 0
− 5 t − 20 = 0 ⇒ t = − 4

и координатите на прободната точка са

x = 2 t − 3 ⇒ x = − 8 − 3 = − 11
y = 4 t + 2 ⇒ y = − 16 + 2 = − 14
z = t ⇒ z = − 4

Замествайки координатите на пробода (−11,−14,−4) в уравнението на равнината ще получим вярното равенство

3 . ( − 11 ) + 4 . ( − 14 ) + 5 . ( − 4 ) − 3 = 0
− 33 + 56 − 20 − 3 = 0.