unknown

Пример 1. Намерете координатите на центъра (за a) и б) също и наклоните) на отсечката $\bar{X Y}$ и координатите на вектора $a = \vec{X Y}$ , и пресметнете разстоянието между двете точки:

а) $A = (5, - 4), B = (3, 2)$

б) $C = (3, 5), D = (- 3, 1)$

в) $A = (3, 2, 1), B = (- 5, 4, 3)$

г) $C = (3, - 1, - 3), D = (- 3, - 3, 5)$

Решение 1. По формулата за средните, координатите на центъра на отсечката се изчисляват така:

а) $S_{A B} = (\frac{5 + 3}{2}, \frac{- 4 + 2}{2}) = (4, - 1)$

б) $S_{C D} = (\frac{3 - 3}{2}, \frac{5 + 1}{2}) = (0, 3)$

в) $S_{A B} = (\frac{3 - 5}{2}, \frac{2 + 4}{2}, \frac{1 + 3}{2}) = (- 1, 3, 2)$

г) $S_{C D} = (\frac{3 - 3}{2}, \frac{- 1 - 3}{2}, \frac{- 3 + 5}{2}) = (0, - 2, 1)$

Координатите на векторите, определени с дадените точки са:

а) $a = \vec{A B} = B - A = (3, 2) - (5, - 4) = (- 2, 6)$

б) $a = \vec{C D} = D - C = (- 3, 1) - (3, 5) = (- 6, - 4)$

в) $a = \vec{A B} = B - A = (- 5, 4, 3) - (3, 2, 1) = (- 8, 2, 2)$

г) $a = \vec{C D} = D - C = (- 3, - 3, 5) - (3, - 1, - 3) = (- 6, - 2, 8)$

Разстоянието между двете точки е:

а) $| A B | = \sqrt{{(3 - 5)}^{2} + {(2 - (- 4))}^{2}} = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 6^{2}} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$

б) $| C D | = \sqrt{{(- 3 - 3)}^{2} + {(1 - 5)}^{2}} = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(- 4)}^{2}} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$

в) $| A B | = \sqrt{{(- 5 - 3)}^{2} + {(4 - 2)}^{2} + {(3 - 1)}^{2}} = \sqrt{{(- 8)}^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$

г) $| C D | = \sqrt{{(- 3 - 3)}^{2} + {(- 3 - (- 1))}^{2} + {(5 - (- 3))}^{2}} =$

$= \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(- 2)}^{2} + 8^{2}} = \sqrt{104} = 2 \sqrt{26}$

Наклоните на отсечките са:

а) $m = \frac{2 - (- 4)}{3 - 5} = \frac{6}{- 2} = - 3$

б) $m = \frac{1 - 5}{- 3 - 3} = \frac{- 4}{- 6} = \frac{2}{3}$