Факултет по математика и информатика - Екстремални задачи в геометрията

Лектор	проф. д. м. н. Олег Мушкаров
Анотация
Целта на спецкурса е да запознае слушателите с основните методи за решаване на екстремални геометрични задачи : метод на геометричните преобразувания, метод на неравенствата, аналитичен метод, метод на частичното вариране, принцип на допирането. Изясняването на методите става с помощта на моделни примери, като се акцентира върху особеностите при тяхното прилагане. В спецкурса се разглеждат подробно основните видове изопериметрични задачи, задачите на Малфати, екстремални свойства на забележителни точки в триъгълник и тетраедър, а също и някои забележителни неравенства в триъгълник.
Съдържание
1. Екстремални задачи в геометрията - обща постановка. Основни принципи при решаване на екстремални задачи - задачата за четирите кладенеца.
2. Метод на геометричните преобразувания - задача на Херон в равнината и пространството, задача на Шварц, задача на Щайнер. Приложения - задачи от МОМ.
3. Класически алгебрични неравенства - неравенства между средните, неравенства на Коши - Буняковски, Минковски и Йенсен.
4. Метод на неравенствата - приложения.
5. Аналитичен метод. Параметризация на геометрични фигури иекстремални задачи за геометрични величини.
6. Метод на частичното вариране.
7. Принцип на допирането - задачата за автобуса. Линии на ниво - геометрични примери. Принцип на допирането - обща постановка и приложения.
8. *Задачи на Малфати.* Задача на Малфати за два кръга в триъгълник и квадрат. Дуални задачи на Малфати. Задача на Малфати за равностранен триъгълник.
9. Изопериметрична задача. Изопериметрична задача за многоъгълник. Неравенства на Люилие и Л.Фейеш Тот.
*10.* Екстремални свойства на забележителни точки в триъгълник и тетраедър.
*11.* Екстремални задачи в комбинаторната геометрия.
*12.* Забележителни геометрични неравенства.