Окръжност в афинната равнина

В афинната равнина окръжността k(S,r) с център в началото на координатната система O и радиус r може да бъде представена чрез точковата функция

R ( u ) = ( r cos ϕ u , r sin ϕ u , 1 ) , за u [ 0, 1 ] , ϕ = 2 π (1)

Афинният образ на окръжност с център O при обща аксиална афинност, определен от оста o, посоките s и двойка съответни точки OO' е елипса с център O'.

el02
Фигура 1: Афинен образ на окръжност

Двойка от прави, съответни на аксиална афинност се пресичат в инвариантните точки на афинност от остта на афинност. Квадрат, описан около окръжността k се изобразява в успоредник, описан около съответната елипса e.

Лема 1. Всяка двойка перпендикулярни диаметри на една окръжност, която се преобразува с помощта на афинна трансформация се изобразява в двойка спрегнати диаметри на съответния образ на елипсата, получена от окръжността.

Лема 2. Взаимното положение на права и окръжност при афинно изображение е инвариантно, така че окръжността и правата се преобразуват в елипса и права на същото място на оригиналната окръжност и права.

Следствие 1. Допирателни към окръжност се изобразяват като допирателни към елипсата, която е афинен образ на окръжността при съответното афинно изображение.

Следствие 2. Пресечни точки на права и окръжност се изобразяват в пресечни точки на афинния образ на правата и елипсата, която е съответния образ на окръжността при афинното изображение.

Последните две следствия могат да се използват при построяване на допирателна към елипса в дадено направление или през дадена точка, както и при построяване на пресечни точки на права с елипса.