Кандидатстудентски изпит по математика, 2002 г. – Пловдивски университет

 

 

Задача 1. Дадена е системата

 

 

където  а≠–1 е реален параметър.

а) Да се реши системата при  а=5.

б) Да се намерят стойностите на параметъра  а , за които системата има решение.

 

 

Задача 2. Да се намерят реалния параметър а , за които неравенството

 

 

е изпълнено за всяко реално  x.

 

 

Задача 3. В ∆ABC е построена медианата AM. Ако AMB=135^o, AB= и CB=4, да се намерят ъглите на ∆ABC и дължината на страната AC.

 

 

Задача 4. Основата на четириъгълна пирамида ABCDM е правоъгълникът ABCD. Околният ръб BM е перпендикулярен на равнината на основата и MC=2cm, DMC=60^o, BCM=.

а) Да се намери обемът на пирамидата като функция на . При каква стойност на  обемът е най-голям? Да се изчисли този обем.

б) Да се докаже, че около пирамидата може да се опише сфера и да се намери лицето на повърхнината ú.