Кандидатстудентски изпит по математика, 2001 г. – Пловдивски университет

Задача 1. Дадена е функцията f(x) = (2m – 1)x⁴ – 2mx² + 1, където т е реален параметър.

а) Да се намерят стойностите на т, за които уравнението y = f(x) има четири различни реални корена.

б) Да се намерят стойностите на т, за които четирите различни реални корена на уравнението y = f(x) образуват аритметична прогресия. Да се определят корените на това уравнение при намерените стойности на т.

в) При т = 5, да се намерят локалните екстремуми на функцията y = f(x).

 

Задача 2. Да се реши уравнението

.

 

Задача 3. Четириъгълникът ABCD със страна АВ = 25 и диагонал BD=24 е вписан в окръжност с център точка О и диаметър АВ. Лицето на триъгълника BCD е равно на 108.

а) Да се намерят дължините на страните AD, ВС, CD и диагонала АС.

б) Да се докаже, че диагоналът АС е ъглополовяща на ъгъла  BAD, и че правата СО е перпендикулярна на BD.

 

Задача 4. Дадена е четириъгълна пирамида ABCDE с основа квадрата ABCD и околни ръбове EB, ЕА=1. Околният ръб ЕА е перпендикулярен на равнината на основата.

а) Да се намерят лицето на околната повърхнина на пирамидата и разстоянието от върха А до равнината (BDE),

б) Да се намери радиусът на описаната около пирамидата сфера.

в) Да се намери мярката на ъгъла между равнините (ВСЕ) и (DCE).