Кандидатстудентски изпит по математика, 2000 г. – Пловдивски университет

 

Задача 1.  Да се реши уравнението

.

 

Задача 2.  Дадено е уравнението

,

където  е реален параметър.

а) Да се определят допус­тимите стойности на  и да се изрази  чрез .

б) Да се реши уравнението при = –3 .

в) Да се намерят стойностите на , за които даденото уравнение има единствен корен.

 

Задача 3.  Даден е трапец ABCD (AB || CD).

а) Да се намери лицето на трапеца, ако .

б) Окръжността k, минаваща през B, C и центъра O на описаната око­ло трапеца окръжност, пресича голямата основа AB на трапеца в точка М. Aко <⁾   ВAС=a и <⁾    ACB=2a, да се докаже, че <⁾   ВОС=<⁾   BМС=2a  и .

 

Задача 4.  Дадена е пирамида ABCD с основа ABC, където AB = AC = a и <⁾   ABС=b.

Ръбът AD и стената BCD сключват с основата ъгъл с голе­ми­на a  и  <⁾   DAB = <⁾   DAC.

а) Да се намери обемът V на пирамидата ABCD.

б) Ако а и a  са фиксирани, да се определи най-голямата стойност на V в зави­си­мост от b.

в) Да се намери обемът V* на пирамидата MNCD, ако точките M и N лежат съот­­ветно на ръбовете AD и BD, а отношението на лицата на DMND и DABD е 4 : 25.