Кандидатстудентски изпит по математика, 1999 г. – Пловдивски университет
1. задача
Даденo е уравнението x2 − 2px + q −
1 = 0, където p и q са реални параметри.
а) Да се намерят стойностите на q, при които уравнението има поне
един корен в интервала (−2; 0) за всяка неотрицателна стойност на параметъра
p;
б) Ако q = −2, да се намерят локалните екстремуми на функцията
F(p) = x13 + x23
− 21(x1 + x2), където x1
и x2 са реални корени на уравнението.
2. задача
Да се реши уравнението √(4x −4) = 2x
− a в зависимост от стойностите на реалния параметър а.
3. задача
Даден е триъгълник ABC, за който ъгълът РACB = 60° и ъгълът
РBAC > 90°.
а) Ако точка H e ортоцентър на триъгълника и R е радиусът
на описаната около него окръжност, да се докаже, че CH = R;
б) Нека AB = 7, AC = 3 и точките М и P са допирни
точки на вписаната в триъгълника ABC окръжност съответно до страните AC
и BC. Да се намерят радиусът на вписаната в триъгълника окръжност и дължината
на отсечката MP.
4. задача
Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDE с връх Е, на която
дължините на основния ръб и околния ръб са съответно а и l = (a√3)/2.
Да се намерят:
а) обемът на пирамидата и радиусът на вписаната в пирамидата сфера;
б) големината на ъгъла между равнините на две съседни околни стени.