Кандидатстудентски изпит по математика, 1998 г. – Пловдивски университет

 

 

1.     задача

Намерете стойностите на параметъра m, за които неравенството

 

log_1/m()+log_m2 ³ 0:

 

1)     е изпълнено за ;

2)     няма решения;

3)    има единствено решение.

 

2.     задача

Даден е правоъгълен D АВС с АВС = b. Върху катета ВС е избрана точкa Q така, че окръжността с диаметър CQ се допира до хипотенузата АВ. Окръжността пресича отсечката AQ в точка P. Да се изрази чрез b отношението AP : PQ.

 

3.     задача

Дадена е функцията

 

f(x) = sin³x ± cos³x  (sin²x.cosx ±  sinx.cos²x).

 

Да се намерят:

а) най-малката и най-голямата стойности на f(x);

б) стойностите на параметъра а така, че функцията g(x) = a.f(x) да не приема стойности по-големи от ;

в) докaжете, че неравенството 2f ²(x) – f(x) –6 < 0 e изпълнено за всяко х.

 

4.     задача

Върхът М на пирамидата АВСМ се проектира ортогонално в ортоцентъра О на D АВС, за който ÐВМС = 90^о, АВ = 7, ВС = 8 и СА=9.

а) Да се докаже, че ÐАМВ = ÐСМА = 90^о и да се пресметнат обемът на пирамидата и радиусът на описаната около нея сфера;

б) Да се определят видът и лицето на сечението на пирамидата с равнина, успоредна на ръбовете АВ и СМ и минаваща през медицентъра G на DАВС.