Кандидатстудентски изпит по математика, 1997 г. – Пловдивски университет

 

 

1.     задача

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията

 

 f(х) = sin¹⁴x + cos¹⁴x, при xÎ[].

 

2.     задача

Да се определят интервалите на изменение на реалните параметри p и q така, че квадратният тричлен f(x) = x² + 6px + 10p² – q² + 8p + 6q + 7 да приема положителни стойности за всички реални стойности на х.

 

3.     задача

В ромб с дължини на диагоналите p и q (p > q) е вписана окръжност. Да се определи лицето на четириъгълника с върхове допирните точки на окръжността със страните на ромба.

 

4.     задача

Основата на права призма АВСА₁В₁С₁ е правоъгълен D АВС (Ð АСВ = 90^о) с ъгъл при върха А, равен на a. В призмата е вписана сфера с център О и радиус r. Равнина p, минаваща през точките А, В и О, пресича правата СС₁ в точка К. Да се определи:

а) обемът на призмата;

б) дължината на отсечката СК;

в) ъгълът a така, че отсечката СК да има най-голяма дължина, ако r=1; г) видът и лицето на сечението на p с призмата.