Кандидатстудентски изпит по математика, 1996 г. – Пловдивски университет

 

 

 

1.     задача

Да се намерят пет реални числа, удовлетворяващи условията: първите три числа образуват геометрична прогресия, а последните три –  аритметична прогресия; произведението на първите три числа е 27; сумата на първото и петото числа е 60, а сумата на второто и четвъртото числа е 37.

 

2.     задача

а) Решете неравенството  lg(x² – 2x + 11) – lg(2x + 2) > 1;

б) Намерете стойностите на параметъра а, за които уравненето                  lg(x² – 2ax + 11) – lg(2x + 2) = 0 има 2 различни реални корена.

 

3.     задача

Точкитe K, L и M лежат съответно на страните AC, BC и AB на DABC, като AM : MB = 3 : 4. Правата KL пресича отсечката CM в точка O. Ако AK : KC = m и BL : LC = n, където m и n са реални положителни числа, да се определи отношението MO : OC.

 

4.     задача

Основата ABCD на пирамидата ABCDM е трапец с голяма основа АВ = а. Бедрото ВС на трапеца ABCD сключва с основата АВ ъгъл a и е перпендикулярно на диагонала АС. Околните ръбове сключват с равнината на основата равни ъгли. Ако S_DАВМ  = 2S_ABCD, да се намери:

а) обемът на пирамидата като функция на a;

б) стойността на a, за която обемът на пирамидата е най-голям и да се изчисли този обем;

в) ъгълът между правите АВ и МС за пирамидата с най-голям обем.