Кандидатстудентски изпит по математика, 1994 г. – Пловдивски университет

 

1.     задача

Разглеждаме функцията у = – х² + 8х – 7 при хÎ[1; 7]. Върху графиката ù са взети точки C и D, а върху абсцисната ос – точки А и B така, че ABCD е трапец, чиито основи CD и AB имат съответно дължини а и 3а. Ако S е лицето на трапеца, да се определят:

а) S като функция на а;

б) Най-голямата стойност на S.

 

2.     задача

Дадено е уравнението sin2x = 1 + a.sinx – cos2x.

а) Намерете стойностите на праметъра а, за които уравненето има корени в интервала [45^o; 90^o].

б) Определете броя на корените на уравннието в интервала [0^o; 180^o] в зависимост от параметъра а.

 

3.     задача

Даден е DАВС, за който ÐАВС = b и ÐАСВ = 2b.

а) Докажете, че АВ² = АС(АС + ВС).

б) Ако М е пресечната точка на страната АВ с окръжността, минаваща през А, С и центъра О на описаната около DАВС окръжност, да се изразят чрез b ъгълът ÐАСМ и отношението АМ : АВ.

 

4.     задача

В правилна четириъгълна пирамида ъгълът между два съседни околни ръба е равен на ъгъла между околен ръб и равнината на основата. Да се намерят:

а) синусът на ъгъла между два съседни околни ръба;

б) тангенсът на ъгъла между два срещуположни околни ръба;

в) двустенният ъгъл между две съседни околни стени;

г) двустенният ъгъл между две срещуположни околни стени;

д) двустенният ъгъл при основата;

е) обемът на пирамидата, ако основният ù ръб има дължина а.