Кандидатстудентски изпит по математика, 1993 г. – Пловдивски университет

 

1.     задача

Решете уравнението

lgx – 3.

 

2.задача

Дадено е уравнението x²  –  tx + c = 0, където t и с са реални параметри.Корените му х₁ и х₂ са реални и удовлетворяват равенството

х₁х₂ = |х₁– х₂|. Да се изразят като функции на t корените х₁ и х₂  и да се докаже, че тези функции са растящи.

 

3.     задача

В DАВС са прекарани височините АА₁ (А₁ÎВС), ВВ₁ (В₁ÎАС) и СС₁ (С₁ÎАВ).

а) Докажете, че DАВ₁С₁  ~ DАВС с коефициент на подобие |cosa|,

DВА₁С₁ ~ DВАС с коефициент на подобие |cosb| и DСА₁В₁ ~ DСАВ с коефициент на подобие |cosg|, където a = ÐВАС, b = ÐАВС и g = ÐАСВ;

б) Ако ВС = а и ÐВАС = a, да се изрази чрез а и a отсечката В₁С₁;

в) Намерете ВС, ако DАВС е остроъгълен, Р_DАВС = 15,  и радиусът на описаната около DАВ₁С₁ окръжност е 9/5.

 

4.     задача

Основата на пирамида ABCDM е квадратът ABCD и MD ^ равнината (ABCD).

а) Да се докаже, че около пирамидата може да се опише сфера.

б) Ако MD = 2 и радиусът на описаната около пирамидата сфера е R = , да се намери ъгълът между равнините (АВМ) и (BСМ).