Кандидатстудентски изпит по математика, 1991 г. – Пловдивски университет

 

1.     задача

Решете неравенството .

 

2.     задача

Намерете стойностите на параметъра а, за които уравнението

 

lg[2x²-4(a-2)x+8+2a]=lg(x²-2ax+a)

 

има единствен корен.

 

3.     задача

Окръжностите k₁(O;R) и k₂(Q;r) се пресичат в точки А и В. Общата им допирателна CD (CÎk₁, DÎk₂) пресича правата АВ в точка N, като В е между А и N.

а) Докажете, че окръжностите, описани около DACD и DBCD са еднакви;

б) Изразете радиуса на описаната около DACD окръжност и отношението на височините на DNAC и DNAD, спуснати през върха N чрез r и R.

 

4.     задача

За тетраедър ABCD е известно, че AB^CD, AC^BD и AD=BC. Известно е също, че съществува сфера с даден радиус r, която се допира до всички ръбове на тетраедъра. Да се намери обемът на тетраедъра.