| Специалност |
Приложна математика (бакалавър) |
| Форма
на оценяване |
Изпит |
| Дисциплината
се води от |
Катедра
Приложна математика и моделиране |
| Анотация |
Курсът
по Числени методи 2 е продължение на Числени методи
1 за студентите по информатика. Целта на курса е изучаването
на основните методи за числено решаване на приложни
задачи и добиване на знания и умения при реализацията
им на компютър. Учебният материал включва методи за:
нелинейни системи алгебрични уравнения, собствени стойности
и собствени вектори на матрици, начални и гранични задачи
за обикновенни диференциални уравнения, собствени стойности
и собствени функции на диференциални оператори, частни
диференциални уравнения и др.
Изискват се знания по: Линейна алгебра, Аналитична геометрия,
Реален анализ, Функционален анализ, Вероятности и статистика,
Обикновенни диференциални уравнения, Числени методи
І част и др., както и владеене поне на един език за
програмиране от високо ниво: Pascal, C++ и др.
В рамките на курса всеки студент разработва и защитава
курсова работа, съдържаща теоретична и програмна част
и/или подготвя задължителен брой компютърни програми
за дадени ЧМ с подходящи тестови примери. |
| Съдържание |
| 1. Постановка на общата задача
на Числените методи в абстрактно пространство.
Етапи и особености на научните изчисления. Математически
модели, числени методи и нови възможности на компютрите.
Понятия за устойчивост, коректност и сходимост. Примери
за неустойчиви изчислителни задачи. |
| 2. Числено решаване на системи
нелинейни алгебрични уравнения. Метод на простата
итерация. Теорема за неподвижната точка в метрично пространство
и сходимост на метода на простата итерация. Метод на
Нютон-Рафсън и теорема за локалната му сходимост. |
| 3. Методи за безусловна минимизация.
Едномерна оптимизация – сканиране, намаляване интервала
наполовина, златно сечение и Фибоначи. Многомерна безусловна
минимизация – постановка на общата задача. Методи на
непряка минимизация, на Гаус-Зайдел, градиентен метод. |
| 4. Числени методи за решаване
на частичната и пълната проблема за собствени стойности
и собствени вектори на матрици. Локализация
на собствените стойности с кръговете на Гершгорин. Степенен
метод за определяне на максималната по модул собствена
стойност. Числени матрици. Метод на Ланцош за матрици
от невисок ред. Биортогонализация. Метод на Хаусхолдер.
QR метод и реализация с плоско въртене. |
| 5. Числено интегриране на задачата
на Коши за обикновени диференциални уравнения и системи
ОДУ. Линейни едностъпкови методи: метод на
Ойлер и модификация, явни методи на Рунге-Кута. Теорема
за сходимост на едностъпковите методи. Линейни многостъпкови
методи от типа на Адамс – екстраполационни и интерполационни
формули. Твърди задачи. |
| 6. Итерационни методи за системи
линейни уравнения. Конструиране на методите,
сходимост, оценка на грешката. Модификация на Гаус-Зайдел. |
| 7. Числено решаване на гранични
задачи за ОДУ. Метод на стрелбата за нелинейни
гранични задачи от втори ред.Мрежови методи за решаване
на линейни гранични задачи от втори ред. Принцип за
максимума и оценка на грешката от мрежовите методи.
Нелинеен случай. Метод на сплайн-функциите. Вариационни
методи за решаване на гранични задачи за ОДУ – метод
на Риц, метод на Бубнов-Галеркин, метод на крайните
елементи и др. |
| 8. Приближено намиране на собствени
стойности и собствени функции на диференциални оператори.
Постановка на задачата. Метод на стрелбата, метод на
мрежите. |
| 9. Елементи от теорията на диференчните
схеми. Мрежа, шаблон, мрежови функции, апроксимация
на основните диференциални оператори. Мрежови норми,
диференчни аналози на основните диференциални операции.
Построяване и разрешимост на ДС. Коректност и устойчивост
на диференчна схема. Основна теорема за сходимост на
ДС. |
| 10. Метод на мрежите за числено
решаване на частни диференциални уравнения.
Класификация на линейните ЧДУ от втори ред. Метод на
мрежите за елиптични ЧДУ. Принцип за максимума и теорема
за оценка на грешката. Разрешимост на ДС за елиптични
ЧДУ: процес на Либман и сходимост. Метод на мрежите
за хиперболични ЧДУ. Оценка на грешката за вълновото
уравнение. Метод на мрежите за параболични ЧДУ: двуслойни
и трислойни ДС, апроксимация и разрешимост. |
| 11. Методи на Монте-Карло.
Идея на методите. Генератори за случайни числа. Метод
на Монте-Карло за приближено изчисляване на многократни
определения интеграли. |
| 12. Числени методи за решаване
на интегрални уравнения. Постановка на задачата.
Методи на изродените ядра, на моментите и др. |