|
|
Учебна
програма
Алгебра |
| Специалност |
Приложна математика (бакалавър) |
| Форма
на оценяване |
Изпит |
| Дисциплината
се води от |
Катедра
Алгебра |
| Анотация |
| Въвеждат се основните
алгебрични понятия операция, релация, изображение и
влагане, с цел по-лесно да се пристъпи към изграждането
на полето на комплексните числа и пръстена от полиноми
на една променлива с комплексни коефициенти. След това
подробно се изучават основните елементи от теорията
на групите, пръстените и полетата. Обемът на изучавания
материал дава възможност на студентите по-нататък самостоятелно
или в избираемите дисциплини по алгебра да могат да
изучават и някои по-съвременни направления от алгебрата. |
| Съдържание |
1. Основни алгебрични понятия.
Полиноми.
Определение на понятията изображение, релация, операция,
полугрупа, група, пръстен и поле. Разширение, изоморфизъм
и влагане. Построяване на полето на комплексните числа.
Влагане на реалните числа в полето на комплексните числа.
Алгебричен и тригонометричен вид на комплексни числа
- формула на Моавър и корени на единицата. Полиноми
на една променлива над поле – определение и действия
с полиноми. Делимост на полиноми, НОД; корени на полиномите,
многократни корени. Теорема на Даламбер (без док.) и
основни следствия от нея. Полиноми с цели и полиноми
с рационални коефициенти. Разложимост на полиноми -
критерий на Айзенщайн-Шонеман. Представяне на рационални
функции чрез елементарни дроби. Резултанта на полиноми
и приложение. Алгебрична решимост на уравнения - уравнения
от трета и четвърта степен. Теорема за съществуване
и единственост на пръстен от полиноми. Равенство на
полиноми в алгебричен и функционален смисъл. Полиноми
на повече променливи, лексикографска наредба, симетрични
полиноми и степенни сборове – основни теореми и приложения.
Антисемитрични полиноми. |
2. Теория на групите.
Подгрупи, циклични групи, разлагане на група по нейна
подгрупа и теорема на Лагранж. Нормални подгрупи и фактор
групи. Хомоморфизми и основни теореми за изоморфизмите. |
3. Пръстени и полета.
Делители на нулата и обратими елементи. Подпръстени
и идеали. Фактор пръстени, хомоморфизми и основни теореми
за изоморфизмите. Директни суми на пръстени и идеали.
Характеристика на поле. Разширения, прости полета. Изоморфизми
и автоморфизми на полета. Крайни разширения и прости
алгебрични разширения. |
|
|